Maximaについて - 理系ジン

概要

Maximaは、微分・積分・微分方程式・多項式・行列などの計算ができる数式処理システムであり、高精度の数値計算もできます。2Dや3Dのグラフも描けます。GPLでWindows/Mac/Linux等で動作します。Maxima on Androidもあります。

Maximaは1960年代後半にMITで開発されたMacsymaを移植したもので、商用の数式処理システムのMathematica等もMacsymaに刺激されて作られました。Maximaは、様々なLisp上で動作し、そのため様々な環境で動作するそうです。

MaximaのGUIフロントエンドとして、wxMaxima、TeXmacs、imaximaがあります。wxMaximaは、メニューから簡易にコマンドを呼び出したり、結果の数式がそれなりに奇麗に表示され、グラフも簡単に描けます。ターミナルで利用するMaximaからは標準ではグラフが表示できません。Maximaのグラフはgnuplot等で描画されています。理系ジンはwxMaximaを使います。

以下、簡単にMaximaの説明をします。詳細は参考文献のDocumentationやMaxima日本語ドキュメントonlineや各種PDFをご覧下さい。

インストール

Windows/Mac/Linuxは、Sourceforge download pageのバイナリで簡単にインストールできます。Maxima、wxMaxima、gnuplotがインストールされます。

他のフロントエンド等のインストールは参考資料を参考にして下さい。理系ジンは使った事がありません。

コマンド操作

wxMaximaではメニュー操作もできますが、コマンド操作が基本です。起動後に、キー入力すると-->が表示されコマンドを入力できます。

基礎

コマンドの末に;を付け、[shift]+[return]で実行します。;が無い場合は、実行すると自動で追加されます。

コマンドを実行すると、-->が(%in)に置き換わり、結果が(%on)の後に出力されます。入力や出力は、%inや%onにより参照できます。直前の出力は%で参照できます。

コマンドの末に、;の代わりに$を付けると、実行しても結果が表示されません。無駄な出力をしないために使います。

コメントは/*コメント*/でできますが、コメントを付けると以後、正常に入力できなくなります。

また、コマンド中に日本語を使うと暴走します。

(%i1) (1+2)³-4*5/4;

(%o1) 22

(%i2) %i1 - %o1 - %;

(%o2) -22

(%i3) 2+3$

(%i4) %;

(%o4) 5

コマンドは? コマンド名により説明を表示できます。説明はマニュアルと同内容のようです。

? plot2d;

TeX出力

tex関数により結果がTeX出力されます。load("mactex-utilities.lisp")すると、tex関数の出力がLaTeXのものになります。

wxMaximaの結果の出力表示は、TeX風ですがTeXではありません。imaximaではTeXにより結果が表示されるそうです。

(%i1) tex(22/14);

$${{11}\over{7}}$$

(%o1) false

(%i2) load("mactex-utilities.lisp")$

(%i3) tex(22/14);

$$\frac{11}{7}$$

(%o3) false

理系ジンでは以下でTeX風の結果表示をMathJaxで行います。また、二重括弧やベキや強調がMarkdownやはてな記法に置き換わるのを防ぐためにcode記法を部分的に使っています。

数値の扱い

数値結果を得るにはfloat関数を使います。

Maximaでは式のまま計算すると誤差が出ませんが、数値で計算すると誤差が生じます。

(%i1) sqrt(3);

(%o1) $\sqrt{3}$

(%i2) %^2;

(%o2) 3

(%i3) float(sqrt(3));

(%o3) 1.732050807568877

(%i4) %^2;

(%o4) 3.0

(%i5) %-3;

(%o5) $−4.440892098500626\,10^{−16}$

プログラミング

代入は、:で行い、関数の定義は:=またはdefine関数で行います。

(%i1) p:%pi;

(%o1) $\pi$

(%i2) c(x):=cos(x);

(%o2) $c(x):=\cos(x)$

(%i3) define(sc(x),sin(x)+cos(x));

(%o3) $sc(x):=\sin(x)+\cos(x)$

(%i4) sc(p);

(%o4) -1

文字出力はprint関数を使います。日本語を使うと暴走します。

(%i5) print("Text");

Text

(%o5) Text

複数のコマンドは(コマンド1,コマンド2)の様にします。条件で処理を分けるif文は次のようになります。

(%i1) v:5$

(%i2) if 0<=v and v<=10 then (print(v,":0<=v<=10"),v:v+10) else (print(v,":v<0 or 10<v"),v:v-10)$

5 :0<=v<=10

(%i3) v;

(%o3) 15

処理を繰り返すfor文は次のようになります。

(%i1) s:0$

(%i2) for i:1 thru 100 do( s:s+i )$

(%i3) print(s)$

5050

block([ローカル変数],コマンド,...)$

(%i1) plus120(i):=block([s:100,ss:20], i:i+s+ss, return(i) )$

(%i2) print(plus120(3))$

123

基礎的関数

(%i1) abs(-1);

(%o1) 1

(%i2) random(100);

(%o2) 12

(%i3) expand((a+b)^3);

(%o3) $b^{3}+3\,a\,b^{2}+3\,a^{2}\,b+a^{3}$

(%i4) factor(b^3+3*a*b^2+3*a^2*b+a^3);

(%o4) $(a+b)^{3}$

(%i5) solve(x^2-2*x-3=0,x);

(%o5) [x=3,x=−1]

(%i6) solve([x+y=-1,x-y=1], [x,y]);

(%o6) [[x=0,y=−1]]

(%i7) trigexpand(cos(a+b));

(%o7) $\cos(a)\,\cos(b)−\sin(a)\,\sin(b)$

(%i8) trigsimp(sin(x)^2+cos(x)^2);

(%o8) 1

(%i9) trigsimp(2*cos(x)*sin(x));

(%o9) $2\,\cos(x)\,\sin(x)$

(%i10) trigreduce(2*cos(x)*sin(x));

(%o10) $\sin(2\,x)$

(%i11) allroots(x^2+x+1=0);

(%o11) [x=.8660254037844386 %i−0.5,x=−.8660254037844386 %i−0.5]

(%i12) %e^(%i*x);

(%i12) ${\%e}^{\%i\,x}$

(%i13) rectform(%);

(%o13) $\%i\,\sin(x)+\cos(x)$

(%i14) 8^(-3/8)*sqrt(2)*8^(3);

(%o14) ${{2^{19/2}}\over{8^{3/8}}}$

(%i15) radcan(8^(-3/8)*sqrt(2)*8^(3));

(%o15) $2^{67/8}$

(%i16) diff(cos(x),x);

(%o16) $-\sin(x)$

(%i17) integrate(-sin(x),x);

(%o17) $\cos(x)$

行列

(%i1) t[i,j]:=(i-2*j);

(%o1) $t_{i,j}:=i-2$ $j$

(%i2) m22:genmatrix(t,2,2);

(%o2) $\begin{bmatrix}-1 & -3 \\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix}$

(%i3) %.%;

(%o3) $\begin{bmatrix}1 & 9 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix}$

グラフ

グラフは、2Dがplot2d関数で、3Dがplot3d関数で描画します。wxMaximaのウィンドウ内にグラフを出力する場合は、それぞれ、wxplot2d、wxplot3d関数になります。

xの値が$[-\pi,\pi]$の範囲で$\cos(x)$を描く場合は次のようになります。

plot2d(cos(x),[x,-%pi,%pi]);

詳しくは、日本語マニュアル 12.Plotting等を見て下さい。

パッケージ

パッケージにより高度な機能が使えます。Maxima日本語ドキュメントonline等を参考にして下さい。

バッチ処理

バッチ処理は、インストーラを利用してインストールした場合は、次のように行えます。

Windows

>cd C:\Program Files (x86)\Maxima-5.28.0-2\bin

>maxima.bat --very-quiet --batch-string="diff(cos(x),x);"
                                diff(cos(x), x)
                                   - sin(x)
>

Mac

$ exec '/Applications/Maxima.app/Contents/Resources/maxima.sh' --very-quiet --batch-string="diff(cos(x),x);"
diff(cos(x),x)
                                   - sin(x)

[プロセスが完了しました]

これだと、JavaやRuby等からMaximaを呼び出して、微分積分等を繰り返すプログラミングは難しいように思います。そもそも数式をコンピュータで扱うのが難しいですね。結局は、TeXで入出力できると便利かも知れません。MaximaのプログラミングはMaximaで閉じて行う方が良いかもしれません。いい方法が見つかれば紹介したいと思います。